Romer(1990) Model

该模型是内生技术变迁的最简模型，通过 R&D 扩展生产投入的种类刻画创新。

创意和技术是非竞争性的
规模报酬递增
R&D 具有固定成本
模型包含三个部门：
研究部门(research sector)使用人力资本和知识存量生产新知识；
中间产品部门(intermediate-goods sector)使用知识生产中间产品；
最终产品部门(final-goods sector)使用劳动力、人力资本和中间产品生产最终产品

最终产品部门

最终产品的生产函数为

Y = H_{Y}^{α} L^{β} \int_{0}^{A} x (i)^{1 - α - β} d i

其中：

$H_{Y}$ 为生产最终产品的人力资本，假设供给量是固定的
$L$ 为劳动，假设供给量是固定的
$A$ 为中间产品的数量
$x (i)$ 为第 $i$ 种中间产品

资本的动态方程为

\dot{K} (t) = Y (t) - C (t)

这里相当于假设资本没有折旧，没有被消费的产出 1:1 可以转化为资本。

最终产品部门为竞争性，利润最大化问题为

max_{x (i)} H_{Y}^{α} L^{β} \int_{0}^{A} x (i)^{1 - α - β} d i - w_{H} H_{Y}^{α} - w_{L} L - \int_{0}^{A} p (i) x (i) d x

其中：

$w_{H}$ 是人力资本的租金
$w_{L}$ 是劳动的工资
$p (i)$ 是第 $i$ 种投入品的价格

最优租金和工资为

\begin{aligned} w_{H} & = α H_{Y}^{α - 1} L^{β} \int_{0}^{A} x (i)^{1 - α - β} d i \\ w_{L} & = β H_{Y}^{α} L^{β - 1} \int_{0}^{A} x (i)^{1 - α - β} d i \end{aligned}

我们唯一需要关心的是对中间产品的反需求函数：

(1 - α - β) H_{Y}^{α} L^{β} x (i)^{- α - β} = p (i)

显然，其需求价格弹性为 $ε = \frac{d \ln x (i)}{d p (i)} = \frac{1}{- α - β}$

中间产品部门

中间产品的生产函数为

x (i) = K (i)

中间产品部门为垄断性，利润最大化问题为

\begin{aligned} max_{x (i)} & π (i) = p (i) x (i) - r K_{i} \\ s.t. & x (i) = K (i) \end{aligned}

根据垄断最优化条件 $P (1 + \frac{1}{ε}) = M C$ 可得

r = p (i) (1 - α - β)

垄断租金为

π (i) = (p_{i} - r) x_{i} = (α + β) p (i) x (i)

Note

这里构造的利润函数只包含可变要素 $K_{i}$ ，并没有包含固定要素——知识 $A^{i}$ ，因为固定要素的报酬将全部转移给知识部门，因此这里所谓的利润实际上是租金。若将租金纳入成本则中间产品部门真正的利润仍然是零。

研发部门

知识的生产函数为

\dot{A} = δ H_{A} A

其中：

$δ$ 为生产率参数
$H_{A}$ 为生产知识的人力资本，假设供给量是固定的
$A$ 为知识存量

假设研究厂商 $j$ 拥有 $H_{A}^{j}$ 的人力资本和 $A^{j}$ 的知识存量能以 $δ$ 的生产率产出第 $j$ 种知识；进一步假设知识存量是非竞争性的，对 $j \in (0, A)$ 加总就得到知识的生产函数。

研究部门的利润最大化问题为

\begin{aligned} max_{H_{A}} & P_{A} \dot{A} - w_{H} H_{A} \\ s.t. & \dot{A} = δ H_{A} A \end{aligned} ⟹ P_{A} δ A = w_{H}

其中

$P_{A}$ 是新知识的售价
$w_{H}$ 是人力资本的租金

Note

这里的关键之处在于，作为知识的完全垄断者，生产 $A^{j}$ 的研究厂商能吃光中间产品厂商 $i$ 的垄断租金，即 $P_{A}$ 相当于中间产品部门的全部垄断资金。实际上完全可以将中间产品部门和研究部门看作同一个部门，从而消去这种内部交易的价格。这里分开处理只是为了使得机制更加清晰。

根据售价=垄断租金可得

P_{A} (t) = \int_{t}^{\infty} \exp [- \int_{t}^{τ} r (s) d s] π (τ) d τ

注意：中间产品厂商是同质的，因此不再需要以 $(i)$ 编码，这里的 $(τ)$ 是时间编码。

Note

根据 Grossman&Helpman (1989c)，上式可以化为

π (t) = r (t) P_{A} (t)

即 $t$ 期中间产品部门的利润应等于期初花费 $P_{A}$ 的利息成本。

均衡

家庭部门的动态最优化问题和 Ramsey-Cass-Koopmans Model 相似

\begin{aligned} max_{C (t)} & \int_{0}^{\infty} \frac{C (t)^{1 - σ} - 1}{1 - σ} e^{- ρ t} d t \\ s.t. & \dot{K} (t) = r (t) K (t) + w_{L} L + w_{H} H - C (t) \\ lim_{t \to \infty} K (t) \exp [- \int_{0}^{t} r (s) d s] \geq 0 \end{aligned}

这个模型解的变式只和 $\frac{\partial H}{\partial K}$ 有关，因此欧拉方程还是经典形式

\frac{\dot{C} (t)}{C (t)} = \frac{r (t) - ρ}{σ}

这里和 AK Model 一样欧拉方程给出的实际上是消费、资本、技术和产出的共同增长率，其中

\begin{array}{r} r (t) = \frac{π (t)}{P_{A}} = \frac{(α + β) p (i) x (i)}{w_{H} / δ A} \end{array}

中间产品厂商是同质的，因此最终产品厂商的最优条件可以写为

\begin{aligned} p (i) & = (1 - α - β) H_{Y}^{α} L^{β} {\bar{x}}^{- α - β} \\ w_{H} & = α H_{Y}^{α - 1} L^{β} A {\bar{x}}^{1 - α - β} \end{aligned}

从而

\begin{aligned} r (t) & = (α + β) \bar{x} δ A \frac{(1 - α - β) H_{Y}}{α A \bar{x}} \\ = \frac{(α + β) (1 - α - β)}{α} δ H_{Y} \\ = \frac{1}{Λ} δ (H - H_{A}) \\ = \frac{δ H - \frac{\dot{A}}{A}}{Λ} \end{aligned}

其中

$Λ \equiv \frac{α}{(α + β) (1 - α - β)}$
$\frac{\dot{A}}{A} = g$

因此

g = \frac{δ H - Λ ρ}{Λ σ + 1}

基本假设

代表性家庭的偏好为

U = \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \frac{C^{1 - θ} - 1}{1 - θ} d t

注意：上式蕴含 $L (t) = L$ ；从 AK Model 可知人口增长率 $n$ 并不重要，这里完全舍弃了

最终产品的总量生产函数为

Y (t) = \frac{1}{1 - β} [\int_{0}^{N (t)} x (v, t)^{1 - β} d v] L^{β}

其中：

$N (t)$ 表示 $t$ 时刻投入品的种类；
$x (v, t)$ 表示 $t$ 时刻的第 $v$ 种投入品
see also Dixit-Stiglitz Model

经济资源约束为

C (t) + X (t) + Z (t) \leq Y (t)

其中：

$X (t)$ 为 $t$ 时刻的投入品投资
$Z (t)$ 为 $t$ 时刻的 R&D 支出

创新可能性边界为

\dot{N} (t) = η Z (t)

其中， $η > 0$ ，初值条件为 $N (0) > 0$
因此，任何厂商在 $t$ 时刻都可以花费1单位产出获得 $η$ 单位新投入品的专利。

假设最终产品厂商需要以 $p_{x} (v, t)$ 的价格获取投入品 $x (v, t)$ ，利润最大化问题为

max_{{x (v, t)}_{v \in [0, N (t)]}} \frac{1}{1 - β} [\int_{0}^{N (t)} x (v, t)^{1 - β} d v] L^{β} - \int_{0}^{N (t)} p_{x} (v, t) \cdot x (v, t) d v - w (t) L

解得投入品需求函数为

x (v, t) = p_{x} (v, t)^{- \frac{1}{β}} L

注意：投入品需求仅和其价格相关，与 $w (t)$ 无关（没有交叉价格效应）

假设投入品厂商以不变的边际成本 $ψ$ 生产投入品 $x (v, t)$ ，利润最大化问题为

max V (v, t) = \int_{0}^{\infty} \exp [- \int_{t}^{s} r (s^{'}) d s^{'}] π (v, s) d s

其中

π (v, t) \equiv p_{x} x (v, t) - ψ x (v, t)

上述目标函数可以写为 Hamilton-Jacobi-Bellman 递归形式

r (t) V (v, t) - \dot{V} (v, t) = π (v, t)